El problema de Monty Hall o paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad basado en el concurso televisivo estadounidense Trato hecho (Let’s Make a Deal). El problema fue planteado y resuelto por el matématico Steve Selvin, en la revista American Statistician en 1975 y posteriormente popularizado por Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990. El problema fue bautizado con el nombre del presentador de dicho concurso, Monty Hall.

El concursante debe elegir una puerta entre tres (todas cerradas); el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un coche, y tras las otras dos hay cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los presentes, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abrirá una de las otras dos, en la que habrá una cabra. A continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones). ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Esa pregunta generó un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir la intuición, es una paradoja.

A continuación se expone el enunciado más famoso del problema, extraído de una carta [1] de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore y Nydick).

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: «¿No prefieres escoger la nº2?». ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

En la carta posterior de Selvin a American Statistician (agosto de 1975) aparece la que parece ser la primera mención del término «problema de Monty Hall».

Un problema análogo denominado «problema de los tres prisioneros» apareció en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner hace el proceso de elección explícito, evitando las suposiciones de la versión original.

La manera más intuitiva de visualizar la mejor estrategia es teniendo en cuenta que tienes 2/3 de probabilidad de elegir una cabra y luego el presentador te desvela dónde está la otra. Por descarte, lo más probable es que el coche esté en la puerta restante y, en concreto, con 2/3 de probabilidad.

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

• Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger una entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay cabras. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
• Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo, ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
• Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?